Un filtre anti-repliement se dimensionne avant de choisir ses résistances

Supposons un capteur dont l'information utile s'arrête à $1\ \mathrm{kHz}$ et un convertisseur qui échantillonne à $10\ \mathrm{kHz}$. Un filtre numérique paraît suffisant pour ne conserver que la bande utile. Pourtant, si une perturbation analogique à $9\ \mathrm{kHz}$ entre dans le convertisseur, elle ressemble après échantillonnage à un signal à $1\ \mathrm{kHz}$. À ce stade, l'information permettant de les distinguer a disparu.

Le filtre anti-repliement intervient donc avant le convertisseur. Son dimensionnement commence par les fréquences et les niveaux attendus, pas par un condensateur disponible dans un tiroir.

Deux sinusoïdes deviennent les mêmes échantillons

Échantillonnons à la fréquence $f_s$. Les instants de mesure sont $t_n=n/f_s$. Pour une sinusoïde complexe, ajouter $f_s$ à sa fréquence ne change pas les échantillons :

$$e^{j2\pi(f+f_s)n/f_s} =e^{j2\pi fn/f_s}e^{j2\pi n} =e^{j2\pi fn/f_s}$$

Le repliement n'est donc pas une approximation du convertisseur. C'est une ambiguïté mathématique. Pour un signal réel, les symétries autour des multiples de $f_s$ ramènent notamment $9\ \mathrm{kHz}$ vers $1\ \mathrm{kHz}$ lorsque $f_s=10\ \mathrm{kHz}$.

La condition de Nyquist concerne un signal limité en bande. Dans le monde physique, les filtres n'ont pas une coupure verticale. Il faut une zone de transition et un budget d'atténuation acceptable.

Ce qu’un simple RC peut faire

Un passe-bas RC idéal a une fréquence de coupure $f_c=1/(2\pi RC)$ et un gain en amplitude :

$$|H(f)|=\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_c)^2}}$$

Choisissons $f_c=1{,}5\ \mathrm{kHz}$. À $1\ \mathrm{kHz}$, le gain vaut environ $0{,}832$, soit $-1{,}60\ \mathrm{dB}$. À $9\ \mathrm{kHz}$, il vaut $0{,}164$, soit $-15{,}68\ \mathrm{dB}$. Une perturbation de $100\ \mathrm{mV}$ laisserait donc environ $16{,}4\ \mathrm{mV}$ avant conversion. Pour un signal utile de quelques millivolts, c'est beaucoup.

Ce calcul suffit à rejeter le premier ordre si le cahier des charges demande, par exemple, moins de $1\ \mathrm{mV}$ de perturbation résiduelle. Modifier légèrement $R$ ne résoudra pas un problème d'ordre de filtre.

L’ordre et le facteur de qualité

Un passe-bas du second ordre s'écrit sous la forme :

$$H(s)=\frac{K\omega_0^2}{s^2+(\omega_0/Q)s+\omega_0^2}$$

$K$ est le gain à basse fréquence, $\omega_0$ la pulsation propre et $Q$ le facteur de qualité. Pour un Butterworth du second ordre, $Q=1/\sqrt{2}$. Le gain dans la bande est monotone et la pente asymptotique atteint $-40\ \mathrm{dB}$ par décade.

Avec la même coupure de $1{,}5\ \mathrm{kHz}$, la valeur normalisée à $9\ \mathrm{kHz}$ devient $1/\sqrt{1+6^4}$, soit environ $0{,}0278$. Les $100\ \mathrm{mV}$ deviennent encore $2{,}78\ \mathrm{mV}$. C'est mieux, mais notre objectif hypothétique n'est toujours pas atteint. Un ordre supérieur, une transition plus large ou une fréquence d'échantillonnage différente doivent être étudiés.

La note Active Low-Pass Filter Design de Texas Instruments présente les approximations et les topologies actives permettant de réaliser ces fonctions de transfert. Il faut distinguer le polynôme souhaité du circuit qui le réalise.

Pourquoi un Sallen-Key peut surprendre

Dans le cas particulier d'un Sallen-Key à résistances égales et capacités égales, le modèle idéal donne $Q=1/(3-K)$. Un suiveur de gain un produit alors $Q=0{,}5$, pas un Butterworth. Pour obtenir $Q\approx0{,}707$ avec ces égalités, il faut $K\approx1{,}586$.

Le gain et la forme de la réponse se retrouvent ainsi liés dans cette configuration. Régler le gain « pour avoir un signal plus grand » peut aussi augmenter la résonance. D'autres rapports de composants permettent d'autres compromis ; la formule précédente ne s'applique pas indistinctement à tous les Sallen-Key.

L'amplificateur réel ajoute sa bande passante, ses limites de tension de sortie et son bruit. Le convertisseur peut aussi présenter une entrée à capacité commutée qui demande un temps d'établissement. Une simulation idéale avec une charge infinie omet ces effets.

Une validation en trois mesures

La première mesure vérifie la bande utile : gain et phase aux fréquences que le capteur doit conserver. La deuxième injecte une perturbation hors bande connue, puis mesure ce qui subsiste après conversion. La troisième vérifie le comportement avec la charge réelle du convertisseur et ses paramètres d'acquisition.

Le budget d'erreur peut être réparti entre atténuation analogique, bruit et calibration, mais un filtre numérique ne pourra jamais déterminer si le pic à $1\ \mathrm{kHz}$ venait du capteur ou d'un parasite déjà replié. Cette irréversibilité est la raison d'être du filtre analogique.